Aplicação dos logaritmos
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. Por meio de exemplos, demonstraremos a utilização dessas técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.
1º Exemplo – Matemática Financeira
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 em uma instituição bancária, que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?
Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C·(1 + i)t. De acordo com a situação-problema, temos:
M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?
M = C·(1 + i)t
3500 = 500·(1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7
Aplicando o logaritmo:
log 1,035t = log 7
t·log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica)
t·0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7
O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.
2º Exemplo – Geografia
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população dessa cidade dobrará, se a taxa de crescimento continuar a mesma?
População do ano-base = P0
População após um ano = P0·(1,03) = P1
População após dois anos = P0·(1,03)2= P2
População após x anos = P0·(1,03)x = Px
Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:
Px = 2·P0
P0·(1,03)x = 2·P0
1,03x = 2
Aplicando logaritmo:
log 1,03x = log 2
x·log 1,03 = log2
x·0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5
A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.
3º Exemplo – Química
Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão: Q = Q0·e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Q = Q0·e–rt
200 = 1000·e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 (–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47
A substância levará 80,47 anos para reduzir-se a 200 g.
