Regras de derivação

As regras de derivação são um conjunto de fórmulas e técnicas que auxiliam no cálculo da derivada de diferentes tipos de funções, ajudando-nos a encontrar a derivada de forma mais fácil do que utilizando a definição. São elas:

• Derivada da constante
• Regra da potência
• Regra da soma e diferença
• Regra do produto
• Regra do quociente
• Regra da cadeia

A derivada é um conceito estudado no cálculo diferencial, sendo base para o estudo de cálculo. A derivada mede a taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente para determinado ponto. Geometricamente, a derivada pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta que é tangente ao gráfico da função para determinado ponto.

Leia também: Afinal, o que é função?

Resumo sobre as regras de derivação

• As regras de derivação são fórmulas que auxiliam no cálculo da derivada de diferentes tipos de funções.
• São elas: derivada da constante, regra da potência, regra da soma e diferença, regra do produto, regra do quociente, e regra da cadeia.
• A derivada mede a taxa de variação de uma função.
• Geometricamente a derivada é o coeficiente angular da reta que é tangente ao gráfico da função em determinado ponto.
• Existem alguns casos de derivadas que recebem nomes específicos, são eles a derivada ordinária, derivada parcial, derivada implícita e as derivadas de ordem superior.
• O cálculo da derivada é essencial em diversas áreas da Matemática e das ciências aplicadas.

Quais são as regras de derivação?

As regras de derivação são fórmulas utilizadas para encontrar a derivada de uma função sem precisar recorrer à definição da derivada em si, ou seja, sem usar a fórmula de limite apresentada anteriormente. Veremos cada uma dessas regras a seguir.

• Derivada da constante: dada uma função constante, sua derivada é sempre igual a 0.
• Regra da potência: utilizada para derivar funções da forma f(x)=xⁿ.
• Regra da soma e diferença: permite derivar a soma e a diferença de funções.
• Regra do produto: usada para derivar o produto de duas funções.
• Regra do quociente: aplicada para derivar o quociente entre duas funções.
• Regra da cadeia: utilizada para derivar funções compostas.

Mais adiante, conheceremos a fórmula de cada uma delas e como calcular a derivada desses tipos de funções.

Afinal, o que é derivada?

A derivada é uma ferramenta matemática que nos diz como a função está mudando em um ponto específico. Ela mostra a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. Em outras palavras, a derivada nos dá a inclinação da reta que é tangente à curva da função em determinado ponto. Quando estudamos cálculo, a derivada é um dos conceitos fundamentais, com aplicações na Física, na Engenharia e em outras áreas.

Por exemplo, se uma função descreve a posição de um carro no tempo, a derivada dessa função vai nos dar a velocidade do carro naquele instante, ou seja, o quanto a posição está mudando ao longo do tempo. Então, a derivada nos ajuda a entender o comportamento de uma quantidade que está mudando, seja a velocidade de um objeto, seja qualquer outra coisa que dependa de uma variável.

A definição formal de derivada é:

• f'(a) → derivada da função f(x) quando x = a.
•  calcula o limite da função quando h se aproxima de 0.

Tipos de derivadas

Existem alguns casos de derivadas que recebem nomes específicos, são eles: derivada ordinária, derivada parcial, derivada implícita, e derivadas de ordem superior.

→ Derivada ordinária

Os exemplos que vimos no texto são todos de derivadas ordinárias, as mais comuns, pois representam a taxa de variação de uma função em relação a uma variável independente.

• Exemplo:

→ Derivada parcial

Quando a função tem mais de uma variável, a derivada parcial calcula a taxa de variação em relação a uma variável, mantendo as outras constantes.

• Exemplo:

• • Derivada da função em relação à variável x:

• • Derivada da função em relação à variável y:

→ Derivada implícita

Utilizada quando a função não está explicitamente resolvida em termos da variável dependente.

• Exemplo:

x² + y² = 16

Então, calculando a derivada de ambos os lados, temos que:

Aplicando a derivada para cada termo, temos que:

→ Derivada de ordem superior

As derivadas de ordem superior são derivadas sucessivas de uma função.

• Exemplo:

• • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Fórmula da derivada

Para cada uma das regras de derivação, temos uma fórmula para o cálculo da derivada.

→ Derivada da contante

A derivada de uma função constante é sempre igual a 0, logo, se f(x) = c, temos que:

→ Regra da potência

Dada a função f(x) = xⁿ, sua derivada f'(x) será:

→ Regra da soma e diferença

A derivada da soma de duas funções é igual à soma de suas derivadas, o mesmo vale para a diferença, então, seja f(x) = g(x) ± h(x), temos que:

→ Regra do produto

A derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Então, seja f(x) = g(x) · h(x), temos que:

→ Regra do quociente

Seja , então temos que:

→ Regra da cadeia

Dada a função composta f(x) = g(h(x)), temos que:

Como calcular a derivada?

Agora resolveremos alguns exemplos de derivada para cada um dos casos supracitados.

→ Cálculo da derivada de uma função constante

• Exemplo:

Seja f(x) = 3, então calcule f'(x).

Resolução:

Como f(x) é uma função constante igual a 3, então sua derivada é 0, ou seja:

f'(x) = 0

→ Cálculo da derivada de funções utilizando a regra da potência

• Exemplo 1:  

Seja f(x) = x³, calcule a derivada dessa função em relação à variável x.

Resolução:

Note que essa função tem uma potência. Utilizando a regra da potência, temos que:

Aplicando a fórmula:

Logo, temos que:

• Exemplo 2:

Seja f(x) = 5x, calcule f'(x).

Resolução:

Ainda que não apareça uma potência no x, sabemos que, nesse caso, seu expoente é igual a 1, então temos que:

Como todo número elevado a 0 é igual a 1, então:

• Exemplo 3:

Calcule a derivada da função f(x) = 3x⁵.

Resolução:

Calculando, temos que:

→ Cálculo da derivada de uma função utilizando a regra da soma e diferença

• Exemplo 1: 

Calcule f'(x), se f(x) = x³ + 2x.

Resolução:

Note que temos uma soma de duas funções, a função gx=x3  e a função hx=2x , então calcularemos a derivada de cada uma delas:

Aplicando a regra da potência em cada uma delas, temos que:

• Exemplo 2:

Derive a função a seguir: f(x) = 5x - 2.

Resolução:

Calculando cada uma delas, temos que:

f'(x) = 5 - 0

f'(x) = 5

• Exemplo 3:

Calcule g'(x), se g'(x) = 2x⁵ - 4x + 5.

Resolução:

Calcularemos a derivada de cada um dos termos, logo, temos que:

Então, temos que:

→ Cálculo da derivada da função utilizando a regra do produto

• Exemplo 1

Calcule f'(x) sabendo que f(x) = (x²+3) ⋅ (x + 2).

Resolução:

Temos que:

Então, temos que:

Aplicando a propriedade distributiva:

Por fim, simplificando o polinômio:

• Exemplo 2:

Seja f(x) = (x³ - x) ⋅ (x² + 4) , calcule f'(x).

Resolução:

Então, temos que:

Aplicando a distributiva:

Agrupando os termos semelhantes:

→ Cálculo da derivada de uma função utilizando a regra do quociente

• Exemplo 1:  

Derive a função .

Resolução:

Temos:

Então, temos que:

Simplificando o denominador:

• Exemplo 2:

Seja a função , calcule sua derivada.

Resolução:

Temos:g

Aplicamos a regra do quociente:

Agora, vamos expandir o numerador:

Simplificando os termos:

Então temos que:

→ Cálculo da derivada utilizando a regra da cadeia

• Exemplo 1:

Seja f(x) = (x + 1)², calcule o valor da sua derivada.

Resolução:

Aqui temos a função composta, em que: h(x) = x + 1 e g(x) = (h(x))².

Pela regra da cadeia, sabemos que:

f'(x) = g'(h(x)) ⋅ h'(x)

Então temos que:

Assim:

• Exemplo 2:

Seja f(x) = (2x³ + 5x)⁴, calcule f'(x).

Resolução:

Neste caso temos uma função composta, pois temos que  e .

Então temos que:

Ainda:

Então a derivada da função f(x) é :

e também: O que é o limite de uma função?

Exercícios resolvidos sobre as regras de derivação

Questão 1

Calcule a derivada da função:

A) f'(x) = 20x³ - 9x² + 4x

B) f'(x) = 20x³ - 6x² + 4x

C) f'(x) = 15x³ - 9x² + 4x

D) f'(x) = 20x² - 9x + 2

Resolução:

Alternativa C.

Calcularemos separadamente a derivada de cada termo da função:

f(x) =5x⁴ - 3x³+ 2x² – 7

Derivada de 5x⁴ = 4 ⋅ 5x³ = 20x³

Derivada de 3x³ = 3 ⋅ 3x² = 9x²

Derivada de 2x² = 2 ⋅ 2x = 4x

Derivada 7 = 0

Então temos que:

Questão 2

Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada da função fx=3x2+2x+15 :

A)

B)  

C)

D)

Resolução:

Alternativa C.

Aplicamos a regra da cadeia, em que a função composta é:

f(x) = (3x² + 2x + 1)⁵

Sabemos que:

Então temos que:

Para encontrar a alternativa correta, basta mudar a ordem dos fatores, então podemos reescrever como: 

Fonte

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.